Есть идея приложения для смартфона - фоткаешь большую медведицу, а приложение показывает время по указанным формулах и сравнивает с текущим. Название только надо придумать крутое Не благодарите!
Наверное, все знают, что первые две звезды ковша Большой Медведицы (крайние справа) являются «звёздами-указателями» – указывают направление на Полярную Звезду. Но знаете ли вы, что «ковш» Большой Медведицы можно использовать для того, чтобы определять время суток?
Но сначала научимся определять по Большой Медведице время года. Тут всё просто – надо найти Большую Медведицу в небе около 10 часов вечера и обратить внимание на положение ковша. Если ковш лежит низко над горизонтом, ручкой влево, значит, сейчас осень. Если ковш стоит вертикально, ручкой вниз, значит, сейчас зима. Если ковш поднялся высоко-высоко, так, что голову задираешь в самый зенит, значит, на дворе весна. Ну, а летом ковшик в это время чаще всего не виден, потому что Солнце ещё слишком высоко :)
А теперь давайте узнаем, как с помощью Большой Медведицы определять и местное время (именно местное, а не то, которое назначают разным часовым поясам депутаты Думы), причём весьма точно. В качестве «стрелки часов» будем использовать те самые «звёзды-указатели», которые называются Дубхе (верхняя) и Мерак (нижняя).
Вращается стрелка этих часов вокруг Полярной Звезды:
Чтобы определить местное время по Большой Медведице:
Найдите на небе звёзды-указатели и запомните время, которое они показывают.
К полученному времени прибавьте номер месяца с точностью до одной десятой (то есть на каждые 3 дня добавляем 0,1)
Полученное число умножьте на два
Итоговую цифру надо вычесть из числа 55,3. Если результат больше 24, отнимите ещё 24. Полученное значение – местное время в часах и долях часа.
Например, 22 октября мы видим в небе расположение звёзд, как на картинке:
Звёзды Дубхе и Мерак («стрелка» наших часов) показывают 4 часа. На дворе октябрь, десятый месяц, значит, прибавляем 10. У нас 22 октября – нам надо добавить 0,1 на каждые 3 дня, значит, добавляем 0,7. 4 + 10 + 0,7 = 14,7.
Умножаем на два: 14,7 х 2 = 29,4. Вычитаем из 55,3: 55,3 – 29,4 = 25,9. Результат больше 24, значит, отнимаем ещё 24: 25,9 – 24 = 1,9.
Значит, местное время равно 1 часу 55 минутам, на дворе без пяти два ночи.
При известной тренировке по таким звёздным часам можно узнавать время с точностью до 10 минут!
Как устроена бесконечность? Что такое энтропия, и грозит ли вселенной "тепловая смерть"? Почему время нам только кажется? Рассказывает журнал "Лучик". Отзывы о нём можно прочесть:
Вы слышали о кладе Томаса Бейла? Двести лет назад золотоискатель Бейл спрятал где-то в Америке клад из серебра, золота и драгоценных камней – и оставил об этом три зашифрованных документа. Второй документ удалось расшифровать, а вот первый и третий пока никому не дались. Многие до сих пор мечтают найти этот клад (между прочим, его стоимость примерно 30 миллионов долларов).
Кстати, не хотите попытать счастья? Местоположение клада – вот оно, надо только суметь прочитать...
А знаете ли вы, чем прославил своё имя математик Христиан Гольдбах?
Тем, что в в 1742 году сформулировал гипотезу, истинность которой общепризнана, хотя за два с половиной столетия никому не удалось её доказать. Гипотеза очень простая:
(Может быть, вы докажете? )
Простое число – это натуральное число, которое делится только на само себя и на единицу. (Результатом деления его на любое другое число будет дробь.) Почему гипотезу Гольдбаха не удаётся доказать? Ведь очевидно, что 7 является суммой простых чисел 3, 2 и 2 – и так далее?
Вот именно – «и так далее». Можно заниматься подобными вычислениями годами, даже десятилетиями и убеждаться, что каждое новое нечётное положительное целое число, найденное вами, будет соответствовать гипотезе. Но!.. никто ещё не предложил убедительных доказательств того, что не существует нечётного положительного целого числа, которое не является суммой трёх простых чисел. Почему? Потому что нечётных чисел бесконечное множество и доказать верность гипотезы для каждого из них невозможно...
А знаете ли вы, что Гольдбах жил и работал в России... кем?
Ну-ка угадайте!.. (Напишите, кто уже догадался.)
Гольдбах служил при коллегии иностранных дел, то есть, говоря языком современным – в МИДе. Он был статским советником – это генеральский чин! А в 1760 году Гольдбах был пожалован в тайные советники с огромным по тем временам жалованием в 4500 рублей. За что такие деньги и почести? Математику? Да ещё в министерстве иностранных дел?
...За то, что Гольдбах блестяще владел искусством дешифровки. Секретные письма прусских, австрийских, французских послов и министров для него были «семечками». Русская дипломатическая служба читала тайную переписку, была в курсе самых мелких подробностей при заграничных королевских дворах, и Россия извлекала из этого огромную пользу – и во время войны, и во время мира.
Дешифровкой дипломатической переписки также занимались и другие известные математики – Даниил и Николай Бернулли, Леонард Эйлер, Павел Шиллинг (попутно он изобрёл ещё и электрический телеграф собственной конструкции). Вот вам и математики на разведывательной службе!
А знаете ли вы, для чего был сконструирован первый в мире цифровой компьютер – «прадедушка» всех современных ноутбуков, десктопов и планшетов? Случилось это в 1943 году, и был этот компьютер предназначен для «взлома» американцами шифров – прежде всего немецкого и японского, но также и советского, и даже британского. Знать тайны союзников иногда не менее важно, чем тайны врагов, знаете ли... А американский математик Клод Шеннон после войны написал целую книгу, которая так и называется – «Теория связи в секретных системах», и книга эта не про плащи и кинжалы, не про яды и револьверы, а математика, математика, снова математика!
Шведский математик Арне Берлинг в середине 30-х годов прошлого века, перед самой войной, сумел «взломать» советскую систему секретной связи. Эту информацию во время Зимней Войны шведы передавали финнам – и те этой информацией пользовались чрезвычайно умело! Финское командование знало о том, что советские бомбардировщики взлетают с аэродромов ещё до взлёта – и советская авиация сбрасывала бомбы по совершенно пустым целям. С помощью этой информации финны смогли нанести нашей армии тяжёлое поражение под Суомусалми и захватить большое количество военной техники и имущества. Вот что может сделать всего лишь один-единственный математик! И пока наша разведка не догадалась, что финны нас «тотально прослушивают», нашим войскам было очень нелегко...
Вообще, «секретные сообщения» изучают две разные науки. В чём-то схожие, в чём-то совсем непохожие друг на друга. Одна изучает именно шифры – буквенные и цифровые системы секретной передачи данных. Она называется «криптография». Вторая изучает не только буквы и цифры, но и вообще технику секретной передачи данных, создание скрытых сообщений. Она называется «стеганография».
Понимаете разницу? Зашифровать тайное донесение – задача криптографии. А вот искусно зашить это донесение в сапог или разрезать на части и спрятать в горсти пустых внутри грецких орехов в продуктовом мешке – это уже стеганография.
Криптография и стеганография возникли параллельно, примерно в одно и то же время. Сложно сказать, кто был изобретателем первых «секретных систем передачи данных» – древние военные, жрецы, ремесленники, астрологи, врачи? Скажем, древний мастер знает рецепт изготовления особенной краски – яркой и стойкой. Но рецепт этой краски необходимо держать в тайне, иначе её начнут делать все подряд! И вот мастер придумывает особые значки и записывает рецепт «тарабарской азбукой». Или изобретает невидимые чернила. Или прячет буквы рецепта между другими буквами!
Вы, наверное, видели когда-нибудь, как пишут арабскими буквами? Для непосвящённого искусная арабская «вязь», особенно древняя (куфическая) – это бессмысленный набор линий, точек и палочек. Но в этом узоре может быть спрятан самый настоящий текст! В Азербайджане, в столице государства, в Баку, находится замечательный памятник архитектуры – дворец Ширван-шахов. Мавзолей, находящийся внутри дворца, украшает торжественная арабская надпись:
Величайший султан, великий ширваншах, тёзка пророка Аллаха, защита веры Халиль-Улла, да увековечит Аллах его царство и власть, приказал выстроить светлую гробницу для своей матери и своего сына, да помилует их Аллах. Восемьсот тридцать девятый год [1435 по нашему исчислению].
Но султан, сами понимаете, сам ничего не строил. Долгое время считалось, что имя строителя мавзолея утрачено – но в 1954 году архитекторы приставили к одному из декоративных медальонов по бокам от главного входа зеркало – и прочли другую, скрытую надпись!
Аллах, Мухаммад Али, архитектор
Узнай султан о том, что мастер посмел оставить свой «автограф» на стене мавзолея, рядом с именем султана, бедняге Мухаммаду Али немедленно отрубили бы голову. Но архитектор был хитёр и искусно «врисовал» свою монограмму в орнамент, так что почти пятьсот лет никто такого не подозревал!
Усыпальница Ширваншахов в Баку. В орнаменте на фасаде вписано имя архитектора
Вот такие вот «спрятанные», «хитрые» надписи изучает стеганография. Ну, а если вы знакомы со сборником рассказов о Ленине писателя Михаила Зощенко, то должны помнить оттуда забавный рассказ «Иногда можно кушать чернильницы». Ленин не шифровал текст (криптография), он писал его молоком – то есть невидимыми, «симпатическими» чернилами (стеганография).
Кстати, проверяли? Работает?
Ещё с IV века до нашей эры известны «доска Энея» и «книга Энея». Эней был знаменитым древнегреческим полководцем – однако это почти всё, что мы о нём знаем. Он придумал, как шифровать текст с помощью узелков на длинной нити! Нить обматывалась на специальной линейке, которая и была ключом к шифру. Гонец вместо пергамента или папируса нёс просто невинную нить или шнурок с узелками – сами понимаете, такую вещь можно легко спрятать в складках одежды или даже в волосах. Получивший нить доставал в точности такую же линейку, и читал секретное донесение!
Эней придумал и другой вид тайнописи – вместо донесения посылалась книга, обычного содержания, скажем, какие-нибудь стихи. Только нужные буквы были аккуратно надколоты иглами! Знающий об этом мог тайное послание прочесть, а никто другой – нет.
Однако хватит истории. Давайте поиграем!
Самый элементарный шифр, который только можно придумать, это «простая подстановка». Его так и называют часто – «детский» шифр или «пионерский». Потому что его обожают использовать дети, играющие в военные игры. Расставим все буквы по алфавиту и каждой букве припишем номер: буква А – 1, буква Б – 2, буква В – 3 и так далее.
Тогда, скажем, название нашего журнала ЛУЧИК превратится в 13 21 25 10 12.
Почему этот шифр «детский»? Потому что он очень прост. Для того, чтобы его взломать, достаточно догадаться, на каком языке текст написан. То есть буквы какого алфавита мы использовали. Обратите внимание, это важно: если мы знаем, что надпись сделана по-русски, то моментально расшифруем.
А если латинскими буквами? Пронумеруем латинский алфавит и подставим буквы на место цифр:
13 21 25 10 12 – M U Y J K
Кхм... вместо «лучика» какой-то «мужик» получился, уж извините.
Тем не менее, для того, чтобы «угадать» язык послания, есть много способов. Скажем, простой счёт разных букв! Если их 26 (как в английском алфавите), мы имеем дело с латиницей. Если 28 – как в арабском – то «подозрение» падает на арабский язык. Если 33 – то на русский... А вот в рассказе «Золотой жук» у Эдгара По главный герой сразу же знает, что к нему в руки попал зашифрованный текст на английском языке. Откуда? Под текстом стояла подпись, рисунок козлёнка (по-английски «кид»). Игра слов «кид» и «Кидд» (имя пиратского капитана) возможна только в английском языке – и дальше легко, просто рассуждая логически, Легран «взламывает» шифр и находит клад. Хотя внешне документ выглядит жутковато:
Как герой рассказа разгадал эту загадку? С помощью математического метода, который называется «частотным анализом». Несмотря на современное название, сам метод очень древний – впервые его описал в своей книге арабский математик, музыкант и астроном Абу Юсуф аль-Кинди, ещё в IX веке нашей эры! В чём смысл этого метода? Опять-таки, в умении считать, а также хорошем знании языка оригинала! Скажем, в арабском языке самое распространённое слово – это определённый артикль «аль-». В английском – артикль «the». Кому было адресовано секретное донесение? Кто его составил? Все письма обычно начинаются со слов типа «здравствуйте» и заканчиваются словами типа «до свидания»... Нельзя ли здесь отыскать ключ к разгадке?
Вот и Легран – зная, что в английском слово «the» встречается очень часто, определяет: знак ; в шифровке означает букву t, знак 4 – букву h, а знак 8 – букву e. Так постепенно, букву за буквой, он «распутывает» эту, казалось бы очень сложную, головоломку.
А вот в рассказе про Шерлока Холмса и пляшущих человечков (а это тоже шифр с простой заменой) «ключом» послужило женское имя «Илси». Сыщик знал, что записки часто начинаются с имени того, кому они адресованы – и угадал верно!
С романом «Жангада» у Жюля Верна, кстати, случилась прелюбопытнейшая ситуация. Этот роман печатался в юношеском журнале «Обучение и развлечение» по главам. Писатель вставил в текст самое настоящее шифрованное сообщение – но... вышла промашка! Шифр, который он использовал, был слишком простым – и многие юные читатели смогли этот шифр «взломать», прочитать и тем самым узнать «что же будет дальше». В итоге Жюль Верн был вынужден использовать в книге более сложный шифр – так называемый шифр Виженера. Этот шифр – более крепкий орешек, математики не умели его взламывать целых триста лет! Однако в конце концов научились.
Напоследок давайте научимся составлять секретные сообщения «методом шахматной доски», он же «метод Кардано». Кстати, Джероламо Кардано – это ещё один математик (а ещё заодно астролог, изобретатель и врач) в нашем рассказе. Возможно, вы знаете про карданов вал в автомобиле. А может быть, слышали про формулу Кардано (мы про неё, кстати, скоро напишем). А вот сегодня расскажем, как сделать «решётку Кардано».
Возьмите лист плотной бумаги или картона и аккуратно начертите на нём квадратную «шахматную доску» из 64 клеток (8 клеток на 8). Клетки внимательно пронумеруйте так, как показано на рисунке.
Цифры в каждой четверти «решётки» (мы для наглядности раскрасили четверти в разные цвета) идут от 1 до 16, причём сначала слева направо, затем сверху вниз и справа налево, затем снизу вверх и слева направо, и наконец справа налево и снизу вверх. Запутаться можно, но вы постарайтесь, и у вас всё получится. Вы можете использовать цветные фломастеры или карандаши для того, чтобы раскрасить доску или цифры, то есть правильно расставить цифры по квадратам доски.
Затем внутри маленьких «угловых квадратов» 4 на 4 клетки нужно вырезать по одной или нескольку клеток в каждой строке. А можно вообще не вырезать. Но действовать по строгому правилу: если квадратик с таким номером уже был вырезан в другом «углу», то вырезать его уже нельзя! У нас получится решётка, «сетка».
Отверстия в решетке Кардано прорезаются так чтобы цифры не повторялись
Готовая решётка Кардано
Наложите ее на бумагу и в получившихся окошечках начните писать свой текст.
Затем поверните сетку на девяносто градусов и продолжайте писать сообщение – в «окошечках», если всё было сделано правильно, будет только чистая бумага! Заполните их и поверните решётку ещё раз. И снова пишите.
И ещё.
И ещё.
В результате, когда вы снимете решётку, у вас получится «секретное сообщение» – бессмысленная чехарда из рассыпанных в беспорядке букв.
Но стоит наложить сетку Кардано на бумагу и повернуть 4 раза – и ваше секретное сообщение станет видимым, читаемым! Такое секретное послание станет отличным подарком для друга. Или пригодится для игры в шпионов, уж как сами решите!
А применялись ли такие решётки в действительности, настоящими секретными агентами? – спросите вы. О, ещё как! Например, большим любителем шифровать свои письма с помощью хитро вырезанных решёток Кардано был знаменитый кардинал де Ришелье из романа «Три мушкетёра». Очень долгое время такие решётки были настоящими «королями дипломатической секретной переписки». Почему? Потому что они просты в изготовлении, удобны, а главное – позволяют передавать сообщение «прямым текстом», не шифруя. Упрощённый вариант «решётки» – метод, когда в тексте нужно читать (по предварительной договорённости) строго определённые слова. Тут мы снова можем вспомнить детективные рассказы о Шерлоке Холмсе. Сыщик читает записку, на первый взгляд совершенно бессмысленную:
С дичью дело, мы полагаем, закончено. Глава предприятия Хадсон, по сведениям, рассказал о мухобойках все. Фазаньих курочек берегитесь.
Но потом он догадывается, что читать нужно только каждое третье слово! И записка становится совершенно ясной:
Дело закончено. Хадсон рассказал всё. Берегитесь.
А вот как выглядела настоящая решётка Кардано для дипломатической переписки.
Письмо написано элегантным каллиграфическим почерком по моде XVI или XVII века. Выглядит оно совершенно невинно, как простое очень вежливое купеческое письмо, скажем, от одного торговца или банкира к другому. Однако при наложении решётки «выплывает» сообщение совершенно иного характера: «Испания в мае отправляет корабли на войну». А знание того, когда и какими силами враг собирается напасть на тебя – знание бесценное, что в XVI веке, что в XXI...
Познакомиться с журналом "Лучик" можно по этой ссылке. Будем рады, если он вам понравится!
А это наш телеграм-канал: https://t.me/luchik_magazine Он не дублирует этот канал, там мы публикуем другие статьи! Присоединяйтесь!
Дорогой Лучик! Мы – Лёша и Ваня Путилины. У нас есть к тебе два вопроса: 1. Что такое гиперпространство, о котором говорится в «Звездных войнах»? 2. Возможно ли оттолкнуться от Земли за счёт её магнитного поля?
Лёша и Ваня, привет вам и спасибо за интересные вопросы! Вы совершенно правильно обратили внимание на то, что в фильмах, мультиках и комиксах про «Звёздные войны» космические корабли для путешествий используют так называемое «гиперпространство». Для прыжков через гиперпространство применяется гипердвигатель (а его, между прочим, далеко не на каждый космический корабль можно установить!), а для безопасных путешествий от одной звезды к другой используются специальные «гипертрассы», или «гиперпространственные маршруты».
Гиперпрыжок – даже через известную всем в галактике пилотам гипертрассу – требует очень тщательных предварительных расчётов. Например, капитан «Тысячелетного Сокола» Хан Соло говорит Люку Скайуокеру так:
«Лететь через гиперпространство – это тебе не на ферме урожай собирать, малыш! Без точных вычислений мы можем пролететь сквозь звезду или оказаться слишком близко от сверхновой, и на этом наша поездка закончится навсегда, ясно тебе?»
Откуда слово «гипер»?
Вообще говоря, писатели-фантасты и создатели фильмов во все времена очень любили учебники по математике. Уж больно много там крутых и загадочных слов («бифуркационная поверхность эллиптической омбилики» – ух!) – самое то, что нужно для того, чтобы сбить с толку и увлечь любознательного читателя. По-древнегречески приставка «гипер-» («ὑπέρ») означает «над, сверху, выше» – а в большом и взрослом учебнике математики мы можем встретить десятки самых разных терминов с этой приставкой. И «гиперповерхность», и «гиперплоскость», и «гиперсфера», и «гиперкуб» (см. рисунок) – и, конечно же, «гиперпространство». В общем, «украдено» слово из математики. Но что же оно означает?
Эту фигуру математики называют "гиперкуб". На самом деле увидеть ее целиком невозможно это только одна из возможных проекций
Если без формул, то «гиперпространство» означает некое многомерное «над-пространство», «супер-пространство», в котором наше с вами привычное пространство (влево-вправо, вверх-вниз, вперёд-назад) является только маленькой его частью.
Сперва это не умещается в голове: ведь наша Вселенная, наше пространство – оно же бесконечное? Как же бесконечность может быть «частью» чего-то другого? В реальном мире представить такое действительно трудно. На такие фокусы способна только математика – или же научная фантастика!
Складки и тоннели
В чём главный секрет гиперпространства? В том, что внутри него наше пространство – то, которое нам кажется идеально «ровным» и «прямолинейным» – может оказаться сильно искривлённым, свёрнутым в причудливые «складки». То, что нам кажется прямой линией с огромным расстоянием между точками А и В, в гиперпространстве может вдруг оказаться «свёрнутым» так, что расстояние и время путешествия оказываются короче в миллионы раз!
Простой опыт: как сократить расстояние между точками А и В на плоскости, то есть в двухмерном пространстве? Нужно "добавить" ещё одно измерение. Об этом мы подробно писали в одном из номеров "Лучика"
Вы знакомы с игрушкой «прозрачный лабиринт»? В ней нужно прогнать маленький шарик из одного угла стеклянного кубика в другой – сквозь систему запутанных «тоннелей» и «этажей». С первого раза сделать это ого-го как трудно, можно потратить не один десяток часов! А теперь представьте себе, что гиперпространство – это наш мир, игрушка-куб – «обычное пространство», шарик – «корабль», и где-то там, «внутри обычного пространства» шарика, извилистый путь через лабиринт представляется длинной прямой линией – скажем, это маршрут полёта корабля от одной звезды к другой... Тогда в нашем «гиперпространстве» мы можем «сжульничать»: снять с кубика прозрачную стенку (то есть «прыгнуть в гиперпространство»), переложить шарик («корабль») в другой угол – и вуаля! «В любую точку вселенной – за 5 секунд!».
Игрушка "прозрачный лабиринт"
Обходя напрямую «складки», «повороты», «тоннели» и другие структуры нашего пространства внутри гиперпространства, опытный пилот может за несколько дней или недель пролететь расстояние, на преодоление которого в реальном пространстве ушли бы миллиарды лет...
Так не бывает?
Или всё-таки бывает? Иногда бывает...
Когда мы сидим в классе за партой или играем во дворе, наша Земля представляется нам плоской, «прямой», не так ли? Но на самом деле она – шар, её поверхность искривлена! Если мы возьмём маленькое расстояние – скажем, от одного края стола до другого или даже от дома до школы, это искривление останется для нас незаметным, «пренебрежимо малым», как говорят математики. Но если взять расстояние побольше? Вот тут-то и начинаются сюрпризы.
Допустим, мы решили измерить расстояние «по прямой» от Москвы до Сан-Франциско. Нет ничего проще – берём карту, проводим по линейке прямую, переводим миллиметры в километры с помощью указанного на карте масштаба и получаем расстояние – 12 тысяч километров. На карте видно, что наш маршрут лежит через Литву, Данию, Великобританию, Ирландию, остров Ньюфаундленд, озёра Гурон и Мичиган, штаты Айову, Небраску, Колорадо, Юту и Неваду.
Прямая линия на карте. Расстояние между Москвой и Сан-Франциско – 12 000 км
Но давайте проверим наши измерения на глобусе. Туго натянем нитку между Москвой и Сан-Франциско... Мамочки! У нас получается совершенно другой маршрут! Он будет пролегать через Карелию, Норвегию, к западу от Шпицбергена, северную Гренландию, остров Элсмир, остров Виктория, Большое Невольничье Озеро, штаты Альберту, Вашингтон и Орегон. А расстояние при этом получится 9500 километров! На 2 с половиной тысячи километров меньше, то есть «быстрее»!
Та же линия на глобусе даёт расстояние уже 9 500 км!
Однако это ещё не самый быстрый и прямой путь! Самый быстрый и прямой мы получим, если «проткнём» наш земной шар гигантской воображаемой спицей, проделав под его поверхностью тоннель от Москвы до Сан-Франциско. Максимальная глубина залегания этого тоннеля составит 1700 километров, а длина будет всего лишь... 8500 километров! Ещё на одну тысячу километров меньше!
"Сквозное расстояние" – 8 500 км!
Как видите, даже в нашем реальном мире «длина по прямой линии» может сильно изменяться в зависимости от того, что именно мы называем прямой– и «прямая» на карте может оказаться очень даже «кривой» в реальности. 3 с половиной тысячи километров – согласитесь, солидная разница в расстоянии. А что уж говорить о фантастическом гиперпространстве...
Можно ли оттолкнуться от магнитного поля Земли?
Теперь ответ на второй вопрос. Каждый магнит обладает «силой» – то есть напряжённостью магнитного поля. Напряжённость магнитного поля Земли у поверхности составляет приблизительно 0,5 гаусс. Много это или мало? Очень мало – скажем, обыкновенный магнитик от холодильника обладает напряжённостью в 50 гаусс, то есть он в 100 раз сильнее! Так что магнитное поле у нашей планеты слабенькое – оно способно «толкнуть» разве что сверхлёгкую металлическую стрелку компаса, да и то, если ничто и никто не мешает...
Вот задача из средневековой книги о торговле: «Некая шкатулка имеет высоту 1 ладонь, ширину 1 ладонь и глубину 1 ладонь, и входит в неё драгоценных пряностей на 20 золотых флоринов. На сколько нужно одинаково увеличить высоту, ширину и глубину, чтобы в ту же шкатулку вместилось товара на 40 флоринов?».
Точного решения такой задачи древние математики отыскать не могли. Им приходилось использовать специальные таблицы. В 1494 году знаменитый итальянский учёный Лука Пачоли писал в своей книге «Сумма арифметики», что «для кубических уравнений, к сожалению, общее решение пока не найдено».
Италия в огне
Хотя... На самом деле называть Пачоли итальянским учёным – это не очень правильно. В те времена Италии как государства не существовало вообще! Часть её принадлежала Испании, часть – Неаполитанскому королевству, а север страны и вовсе был разделён на крошечные герцогства, графства и республики – Венецию, Флоренцию, Геную...
Лука Пачоли
Уживаться друг с другом у этих государств не получалось, между ними шла непрекращающаяся война. Поэтому многие учёные, художники и архитекторы попросту бежали из Италии, спасая свою жизнь, – некоторые из них в результате оказались в далёкой России, где помогали возводить Кремль и Кремлёвскую стену... Да-да-да, знаменитые зубцы в форме буквы «М» поверх Кремлёвской стены (они, кстати, называются «мерлоны») были построены по новейшей итальянской моде того времени!
Слева - Московский кремль, справа - крепость в Вероне (Италия)
Однако мы отвлеклись. Итак, Италия страдала от непрекращающихся войн. В 1512 году войска французского короля Людовика 12-го взяли штурмом город Брешию и устроили там страшную резню – погибло около 45 000 (!) человек. Женщины и дети пытались спастись в местном соборе, но французы ворвались и туда. Двенадцатилетний мальчик по имени Никколо Фонтана попытался защитить от разъярённых солдат мать и младших братьев – и получил страшный удар мечом в голову...
Мальчик выжил и сыграл выдающуюся роль и в нашей истории, и вообще в истории математики. Однако всё-таки попытайтесь представить себе то неспокойное время, когда ни один человек, даже ребёнок, не смел выйти на улицу без кинжала и меча.
Но поединки в те времена происходили не только на мечах и кинжалах. В Италии были широко распространены «математические поединки». Бросивший вызов предлагал своему оппоненту решить математическую задачу, а иногда и не одну. Соперник же должен был предложить встречную задачу (или несколько). Побеждал тот, кто решит больше задач – и, надо сказать, такие математические «турниры» имели просто бешеную популярность!
Люди делали крупные денежные ставки на победу «своего» математика, и призы на таких состязаниях были более чем существенные. Неудивительно, что многие математики принимали участие в таких поединках просто для того, чтобы подзаработать, как современные профессиональные боксёры.
Эврика!
Приблизительно в том же 1512 году, когда французы разорили Брешию, в другом итальянском городе, Болонье, преподаватель математики по имени Сципион дель Ферро сделал удивительное открытие. Он сумел найти общую формулу для решения одного из видов кубических уравнений. Современный учёный тут же оповестил бы всех коллег и корреспондентов о выдающемся научном успехе – однако тогда времена были другие. Обладая этой, одному ему известной формулой, дель Ферро мог не бояться, что кто-то осмелится вызвать его на математический поединок и отобрать у него весьма престижное и денежное место профессора в Болонском университете. Поэтому публиковать формулу учёный не стал – да что там публиковать, само существование этой формулы он держал в строжайшей тайне!
В 1526 году Сципион дель Ферро умирает. Должность преподавателя и все свои записи он передаёт мужу своей дочери, единственному законному наследнику Аннибале делла Наве. Он был ничуть не менее скрытным, чем Сципион дель Ферро, и о существовании формулы для решения кубических уравнений не сообщил никому.
Бой за тридцать обедов
Проходит восемь лет – и вдруг происходит событие, которое по-настоящему всколыхнуло всю тогдашнюю образованную Италию. Совершенно неожиданно в Венеции объявляется некий математик, по имени Антонио Мария дель Фиоре, который утверждает, что никто в стране не может сравниться с ним в искусстве решения кубических уравнений. Откуда взялся этот Фиоре – мы не знаем; некоторые утверждают, что он был учеником Сципиона дель Ферро, другие – что он, выполняя обязанности секретаря в доме делла Наве, попросту украл заветную формулу.
Математиком он был, мягко говоря, посредственным, однако сразу же сообразил, какое сокровище попало к нему в руки. «Никто не сможет победить меня на математическом поединке!» – заявил он и бросил вызов всем математикам Италии. Ставка была по тем временам крупной – побеждённый должен был оплатить 30 роскошных обедов.
Вы ещё не забыли про мальчика Никколо, которого французский солдат чуть не убил в Брешии? Мальчик этот чудом выжил, хотя на лице у него остался страшный шрам, и всю оставшуюся жизнь он носил скрывающую этот шрам густую бороду и плохо говорил, за что получил прозвище «Тарталья», то есть «заика».
Никколо Тарталья
Тарталья был человек невероятного таланта и ума. Совершенно не имея денег, он сам научился читать и писать, освоил математику и в итоге стал чрезвычайно искусным поединщиком. К 1534 году он успешно выиграл себе не только неплохое состояние, но и должность преподавателя математики в Венеции. По поводу умственных способностей Фиоре он никаких иллюзий не испытывал – и немедленно принял вызов на поединок. «Я проучу эту бездарность, этого выскочку Фиоре!» – говорил он. Будучи уверенным в своих математических талантах, Тарталья даже не стал готовиться к турниру. Однако, когда в означенное время гонец привёз от Фиоре 30 задач, Тарталья понял, что простым поединок не будет.
Все задачи Фиоре были на решение кубических уравнений, которые решать в общем виде никто в Италии не умел! (По крайней мере, все так думали – про метод, открытый Сципионом дель Ферро, никто даже не подозревал, он хранился в глубочайшей тайне.) Только тут Тарталья понял, в какую хитроумную ловушку его заманил Фиоре – посредственный математик, но прирождённый интриган.
Однако сдаваться без боя Тарталья тоже не захотел – два дня и две ночи он практически не ел и не спал, пытаясь справиться с присланными ему задачами... и произошло чудо. Хотя почему «чудо»? Просто Тарталья, в отличие от Фиоре, был действительно гениальным математиком. За две ночи он сумел заново открыть метод Сципиона дель Ферро, да не просто открыть, а ещё и улучшить! Новый способ позволял решать кубические уравнения разных видов, а не только одного.
Поединок между Тартальей и Фиоре
Тарталья торжествовал! Он решил все присланные Фиоре 30 задач, а потом составил 30 своих – причём такого вида, который Фиоре решать не умел, несмотря на секретную формулу!
22 февраля 1535 года состоялся поединок. Тарталья, как мы уже говорили, решил все предложенные ему задачи. Фиоре же не смог решить ни одной задачи, предложенной соперником! Жители Венеции неистово аплодировали своему гениальному соотечественнику, а опозоренному Фиоре ничего не оставалось, как признать поражение. Тарталья поступил с соперником более чем великодушно, отказавшись от выигранных 30 роскошных обедов. Однако Фиоре затаил обиду и поклялся отомстить...
Охота пуще неволи
Молва о выигранном Тартальей турнире прокатилась по всей Италии, в частности, об удивительном методе решения кубических уравнений услышал Джероламо Кардано, профессор математики из Милана. Тоже личность очень примечательная!
Интересы Кардано были невероятно широки – он был и врачом, и инженером, и математиком, и физиком, и химиком, и астрологом, и философом... Он, в частности, изобрёл карданов подвес, карданов вал и кодовый замок. Однако глубиной его познания не отличались; плюс ко всему, Кардано был невероятно тщеславен. В те годы он занимался составлением большой подробной книги по математике – назвал её он «скромно» «Ars Magna», то есть «Великое искусство», и собирался включить в эту книгу все новейшие (для того времени) математические достижения.
Джероламо Кардано
Надо ли говорить, как Кардано заинтересовался формулой Тартальи! Метод решения кубических уравнений! Формула, которую не смогли найти ни древние математики, ни индийцы, ни арабы! Она непременно должна была стать украшением его книги, это будет настоящий бриллиант! И Кардано начинает переписываться с Тартальей... Он восхищается талантом Тартальи, откровенно ему льстит, называет «величайшим математиком всех времён» – в общем, готов на всё, лишь бы тот раскрыл заветную формулу.
Но Тарталья был крайне невысокого мнения об умственных способностях Кардано. Он всячески издевается над Кардано, бахвалится тем, что открыл всего за два дня формулу, которую Кардано никогда не сможет найти самостоятельно, что за два года, что за двадцать... Но Кардано все эти насмешки переносит терпеливо и с улыбкой – для него главное узнать формулу, остальное неважно!
Загадочное стихотворение
Наконец, 25 марта 1539 года Кардано улыбается удача. Тарталья соглашается раскрыть тайну. Однако формулу он прячет в форме зашифрованного стихотворения из 25 строк – и это стихотворение передаёт Кардано. Вот оно:
Стихотворение Тартальи
Кардано, как мы уже упоминали, был человеком неглупым и с широким кругозором, но расшифровать стихотворение Тартальи не сумел. Попробуйте поставить себя на его место, когда вместо вожделенной математической формулы вы получаете листок с вот таким вот текстом:
Когда куб и вещь совместно Равняются числу некоему целому, Найди два других, с разностью в первое. Затем возьми себе в привычку, Что произведение их равняется Чистой трети куба от вещи. То, что осталось, как правило, Из кубических корней их вычтенных, Будет равняться твоей главной вещи. Во втором же из этих действий, Когда куб остаётся один, Увидишь ты другие соглашения. Сразу раздели число на две части, Так, чтоб одна, на другую помноженная, Ясно давала треть куба от вещи. Тогда из двух этих вещей, как привычное правило, Возьми кубические корни, сложенные вместе, Сумма эта и будет твоей мыслью. Третье же из наших вычислений Решается, если постараться, как и второе, Поскольку природа их почти одна и та же. Узнал я эти вещи не запоздалыми шагами В году одна тысяча пятьсот тридцать и четыре, На основаниях прочных и крепких, В городе, опоясанном морем.
Кардано в ярости. Единственное, что ему понятно из текста – это 1534 год и «город, опоясанный морем», то есть Венеция. Но всё остальное? Что означают все эти загадки? Для того чтобы решить их, был нужен математик не менее талантливый, чем сам Тарталья... И, по странному совпадению, такой математик у Кардано был!
Клятва на Библии
Вернёмся на три года назад. В доме у Кардано служил слуга по имени Люка Феррари, парень ленивый и нерадивый. Однажды он взял и сбежал домой. Кардано, оставшись без слуги, написал отцу Феррари – чтобы тот вернул парня на службу. Однако тот вместо сына прислал к Кардано тринадцатилетнего племянника Лодовико. Сперва Кардано очень рассердился – как же, вместо здорового молодого парня ему присылают сущего мальчишку! – но потом обратил внимание на то, что мальчишка не по годам сообразителен.
Вместо того чтобы заставлять Лодовико чистить лошадей и выносить помои, Кардано учит паренька математике – и тот делает поразительные успехи! В итоге Лодовико Феррари становится личным секретарём и помощником Кардано.
Ему-то хозяин и поручает разобраться с загадочным стихотворением Тартальи. Всего лишь за два дня Феррари разгадывает головоломку и с гордостью демонстрирует Кардано готовую формулу.
Наконец-то Кардано может торжествовать! Он приходит к Тарталье и в едких выражениях сообщает, что разгадал формулу. Сказать, что Тарталья взбешён – это ничего не сказать. Он выхватывает кинжал (не забываем, в те времена математики ходили с мечами и кинжалами) и под страхом смерти заставляет Кардано принести клятву на Библии – что тот никогда не опубликует формулу в своей книге. Кардано вынужден согласиться...
В 1540 году выходит книга Кардано «Великое искусство». Однако формулы для решения кубических уравнений там нет. Кардано вынужден скрепя сердце держать слово. Ему известна формула, но он не может её опубликовать! Все его помыслы только об одном – чтобы обойти клятву и отомстить Тарталье... И вот однажды в дверь дома Кардано стучит некий человек, который тоже затаил на Тарталью злую обиду. Это… тот самый Антонио Мария дель Фиоре, опозоренный на математическом турнире в 1535 году!
Фиоре клянётся, что формулу знал ещё покойный профессор Болонского университета Сципион дель Ферро. И если эта формула есть в записях профессора, то Кардано может опубликовать формулу по этим записям! Теперь клятва, данная Тарталье, не имеет значения!
В 1545 году выходит второе издание книги «Великое искусство», в котором решению кубических уравнений посвящена целая глава! В предисловии к главе Кардано упомянул и Тарталью, и Фиоре – однако написал, что метод был изначально придуман «почтенным Сципионом дель Ферро». Не подкопаешься!
Титульный лист книги Кардано «Великое искусство»
Последняя битва
Само собой, теперь была очередь Тартальи прийти в бешенство. Как?! Этот напыщенный болтун Кардано публикует формулу в своей книге в нарушение клятвы?! Он утверждает, что честь открытия формулы принадлежит не ему, Тарталье, а дель Ферро?!
Тарталья публикует гневные письма, в которых называет Кардано вруном, бездарем и клятвопреступником. Наконец, он отправляет Кардано вызов на математический поединок – Тарталья уверен, что победит и посрамит своего соперника. Но... Не таков был Кардано! Вместо себя он отправил на поединок того самого Лодовико Феррари, «своего юного ученика».
Лодовико Феррари к тому времени не только сумел усовершенствовать формулу Тартальи и дель Ферро, он самостоятельно открыл способ решения уравнений четвёртой степени, ещё более сложных! Тарталья был, безусловно, талантлив – однако Феррари был одарён ничуть не меньше.
И вот 10 августа 1548 года в Милане состоялся долгожданный турнир. Главным судьёй был лично дон Ферранте ди Гонзага, губернатор города. Весь город болел за Феррари – а поддержать одинокого Тарталью приехал только его младший брат. В первый же день стало ясно, что Феррари решает задачи намного лучше – и ночью опозоренный Тарталья бежал из Милана...
На юного Феррари посыпались предложения службы, одно привлекательнее другого – его приглашал в учителя математики для своего сына сам император! До самой своей смерти в 1557 году Тарталья пытался «восстановить справедливость» – но это ему так и не удалось.
В современных учебниках математики формула, ставшая причиной стольких драматических событий, называется «формула Кардано».
Как тут бывает. Вызываю к силе пикабу! Ищу математиков по образованию, чтобы они сказали свое конкретное "Да! Как же я сам не додумался!"
Гипотеза состоит в том, что любое число после повторения бесконечного числа операций деления на 2, если оно чётное, или операции (умножения на три и прибавление 1) сводится к 1.
Итак, доказательство. 1)Рассмотрим совершенно любое число ввида 1(П)0, в двоичной системе счисления, где 1 старший бит, далее бесконечная последовательность, и последний бит равен 0 /1. 2) Рассмотрим тогда на примере числа 1(0)0, что деление на 2 это сдвиг вправо, после числа шагов стремящихся к бесконечности мы получим 1. Прекрасно. 3) Далее рассмотрим операцию 3n+1. В зависимости от последних 2 разрядов бесконечного числа, после умножения мы имеем два варианта или 00 / 10 на конце числа, тогда после увеличения порядка на 2 значения бесконечной последовательности, мы тут же вычитаем один порядок делением, тогда при приближении к бесконечности, мы получаем 50% вероятность сдвига вправо и влево. Тогда существует число, которое бы опровергло гипотезу. Правильно?
Нет.
4) Число бинарные и содержат только 1 и 0. Бесконечные числа 0 / 1. Тогда есть только три произвольных варианта чисел.
4.1 1(1)1, в нем единиц больше нулей, бесконечно больше, число разрядов бесконечно, тогда крайний случай единицы все, тогда умножаем на 3n+1, результат.... 1(0)0 см. П2. 4.2 1(0)0, см п2. Нулей больше единиц. Промежуточными вариантами можно пренебречь. 4.3 единиц и нулей равное количество. 1(0101)0 // 1(1010)1, тождественны через одно деление на 2 (смещение), умножаем на 3n+1, результат.... 1(0)0 см. П2
5) Гипотеза доказана. Любое число будет сведено к виду 1(0)0, после смещения к 1.
Многие считают арифметику скучной. Однако знаете ли вы, сколько в арифметике загадочных, таинственных и совершенно необъяснимых вещей?
Вот, например, удивительная задача, сформулированная в 1949 году индийским математиком Даттарая Капрекаром. Возьмите любое четырёхзначное число, в котором не все цифры одинаковые. То есть 1111 – нельзя, а 1112 и так далее – можно.
Пусть будет 2023 – как год, который закончился. Теперь внимание! Переставим местами цифры этого числа так, чтобы получить самое меньшее возможное число. Нетрудно догадаться, что это будет число 0223.
А теперь переставим цифры так, чтобы получить самое большое число. Понятно, что это будет 3220, так? Вычтем меньшее число из большего:
3220 – 0223 = 2997
Сделаем с числом 2997, которое у нас получилось, то же самое: переставим цифры, найдём наименьшее возможное число (2799) и наибольшее (9972). Снова вычтем:
9972 – 2799 = 7173
Продолжаем, повторяем всё то же самое:
7731 – 1377 = 6354
6543 – 3456 = 3087
8730 – 0378 = 8352
8532 – 2358 = 6174
А дальше (глубоко выдохнули) начинается то самое, удивительное!
7641 – 1467 = 6174
7641 – 1467 = 6174...
Всё, наши расчёты навсегда бесконечно «зациклились» на одном-единственном числе 6174!
Можно подумать, что это просто совпадение, случай. Однако нет, не случай. Возьмите совершенно любое четырёхзначное число с неповторяющимися цифрами – хоть 1234, хоть 9876, проделайте те же самые действия – и в итоге всё равно получите всё то же самое «непреодолимое» число 6174 – прямо камень преткновения какой-то! Или, как говорят математики, «неподвижная точка преобразования».
Даттарая Капрекар
Дальше можете проверить сами: все трёхзначные числа с неповторяющимися цифрами точно также «натыкаются» на волшебное число 495. А вот с двухзначными или пятизначными числами у вас этот фокус, как ни бейтесь, не получится. В этом случае «неподвижной точки преобразования» нет!
Дальнейшие проверки на компьютере показали, что для шестизначных чисел таких вот «чисел преткновения» существует два: это 549 945 и 631 764 (если вы узник замка Иф, проверьте сами). А для семизначных чисел «неподвижных точек преобразования» снова не существует...
Ну как, вы всё ещё считаете, что в математике нет ничего загадочного, да?
Почему все четырёхзначные числа в преобразовании Капрекара упираются в число 6174? Что в нём такого особенного? Этого никто не может сказать…
Экспонента – это когда ответ усиливает стимул. Но бывает и наоборот. То есть обратная связь может быть отрицательной. В пиаре этот феномен получил название эффекта Барбары Стрейзанд. Судебный иск артистки с целью изъять фото своего роскошного дома из публичного доступа привело к обратному эффекту: практически никого не интересовавший дом Стрейзанд начали смотреть все, кому не лень. Число просмотров выросло с шести до полумиллиона.
Более широко в психологии это называется эффектом бумеранга: так берут на «слабо» и идут против запретов. Нежелательный ответ может вызвать неправильно выбранный стимул. Стремление избавиться от кобр в Дели привело в своё время британскую колониальную администрацию к решению платить за каждую сданную убитую кобру. Выход нашёлся быстро: индусы стали разводить кобр на убой. Англичане отменили награду, и куда выпустили эти все террариумы? Правильно, в окрестности Дели. Прошли века, и бывшие колонизаторы встали на те же грабли: уже в наши дни они стали платить за уничтоженные плантации опийного мака в Афганистане. Афганцы кассировали и со снятого урожая, и с уничтожения поля после этого. Ну а потом высаживали плантации на новом месте. Оплата американскими властями каждого построенного километра железных дорог привела к тому, что компании, ведущие строительство навстречу друг другу, намеренно «промахивались», идя параллельным курсом. Примерам подобных манипуляций несть числа: здесь колумбийские военные отчитываются за борьбу с партизанами трупами убитых гражданских, там учителя подделывают оценки своих учеников, а ещё где-то больница не хочет лечить сложных пациентов, не желая испортить себе статистику. Закон Гудхарта в действии:
Когда мера становится целью, она перестает быть хорошей мерой
К нежелательным последствиям может привести тренировка нейронных сетей. Подобные системы, натренированные на определённых наборах данных, представляют собой чёрные ящики: мы не знаем внутреннюю логику, на которой строятся решения системы. Это, конечно, риск: кто знает, как поведёт себя система в новых обстоятельствах? У неё есть заданная нами цель, а вот выбор средств часто явно не указывается. Автор рассказывает историю, как нейронку по рентгенодиагностике тренировали на данных из двух больниц, статистика в одной из которых заметно превышала другую. Система научилась различать происхождение снимков и базировать свои выводы на этом. Ведь ей скармливали весь снимок, включая вспомогательную информацию на полях. А то, что надо смотреть лишь на лёгкие, а не буквы L и R, не сказали.
При выработке модели важно также не зайти слишком далеко. Можно интерполировать последовательность 3, 5, 7, 9 простой линейной функцией и заключить, что следующее значение – 11. Но эта функция – не единственная с такими значениями. Через эти точки можно, например, провести кривую четвёртого порядка, следующее значение которой будет 23. Что делать? Не плодить сущности понапрасну и пользоваться бритвой Оккама. То есть использовать минимальное число параметров для объяснения ситуации. В том числе не стремиться подогнать модель под данные с идеальной точностью.
Упомянув про самосбывающееся, трудно пройти мимо пророчества самоотменяющегося. С подобной дилеммой столкнулся ещё пророк Иона в седой древности: Господь повелел ему передать пророчество о разрушении Ниневии, если жители этого города не раскаются. Однако вот ведь какое дело: если они поверят ему и раскаются, то город не разрушится, и тогда само пророчество не сбудется. Ну и кто он будет после этого в их глазах? Вот и попытался спетлять и отправился в плаванье. Но Господа не обманешь. Корабль попал в сильнейший шторм, и когда корабельщики бросили жребий, кого выкинуть за борт, тот пал... да, на Иону. Как только того выбросили, шторм прекратился. Но Иона не погиб в пучине: его проглотил кит, в чреве которого три дня и три ночи он молился. Господь дал ему второй шанс, кит изверг Иону на берег, тот пошёл в Ниневию, стал пророчить о гибели города через сорок дней. Ниневийцы впечатлились и покаялись, их гибель не случилась, а пророчество Ионы – не исполнилось. Автор находит Иону в современности в лице эпидемиолога Нила Фергюсона, предсказавшего смерть полумиллиона британцев, если не бороться с распространением коронавируса. До такого не дошло. Умерло порядка двухсот тысяч. Помог локдаун, вакцинация и другие меры, за которые и выступал Фергюсон. Автор, правда, не сообщает ещё одну цифру из его предсказаний: что при соблюдении карантина число жертв может упасть ниже 20 тысяч.
К неожиданному исходу соперничества может привести недооценка противника. Голиаф может почивать на лаврах и расслабиться, в то время, как Давид будет гореть желанием опровергнуть ожидания и самоутвердиться своей победой над фаворитом. Подобный феномен автор называет эффектом аутсайдера, хотя Википедия имеет в виду нечто другое. Так или иначе, такое развитие событий, наряду с самоотменяющимся пророчеством, представляет собой примеры отрицательной обратной связи.
Если честно, я так не считаю. Это, скорее, примеры того, когда исход не такой, как планируется. Сигнал же обратной связи вычитается из задания на управление для вычисления рассогласования, чтобы узнать, далеко ли мы от цели. Мы выстреливаем в мишень, смотрим, куда попала пуля и делаем поправку. Стоим под душем, крутим ручку и чувствуем изменение температуры. Температуру (а также другие параметры тела) регулирует и наш мозг, используя обратную связь и управляющие воздействия. Разумеется, исход процесса регулирования может оказаться не таким, как хотелось бы. Длинная труба в душе может сделать задачу сложной, мы крутим кран в одну сторону, но пока вода достигнет нашего тела, проходит слишком много времени, и станет слишком горячо. Крутим в другую – опять промахиваемся, слишком холодно. Система входит в колебания. И будет неплохо, если эти колебания не слишком широки. А то при определённых обстоятельствах система может пойти вразнос.
Совет автора читателю очевиден до невозможности: пытаться предвидеть эффект бумеранга. Думать о непредвиденных последствиях. Брать на «слабо». Не всегда идти путём прямых запретов, ведь запретный плод сладок. Практическая ценность таких советов, на мой взгляд, не слишком высока.
Каковы бы ни были наши потенциальные предсказательные способности, иногда приходится признать: они не бесконечны. Приведу пример. Допустим, что совершая действие A, мы уменьшаем какой-то параметр B, который неизбежно должен уменьшить параметр С, что нам и нужно. Но на самом деле наше действие может привести и к росту параметра D, который тоже влияет на C. Единственным способом убедиться в нужном результирующем воздействии этих двух путей влияния будет использование количественной модели. Вербальная качественная модель в этом случае не сработает.
Говоря о непредсказуемости, автор упоминает заблуждение нормальности: мы склонны думать, что в будущем всё будет так же, как сейчас. Мы откладываем написание завещаний, не сразу реагируем на предупреждения о надвигающемся бедствии. Некоторые даже не верят предупреждениям. Чем это чревато, мы можем убедиться на примере судьбы жителей Помпейи, которые даже после начала извержения Везувия далеко не все поспешили покинуть город. Наши современники не намного разумнее их, что показала реакция жителей Нью-Йорка и окрестностей на штормовое предупреждение в октябре 2012 года. Тогда лишь менее половины жителей покинуло зону эвакуации. Результат: смерть 159 человек в результате урагана Сэнди.
Кстати, о погоде. Её мы хоть и умеем предсказывать, но тоже неидеально. Когда-то давно мы полагались на эмпирические приметы вроде красного неба на закате, предвещавшего ясную погоду (в отличие от красного восхода). Эта примета нашла своё отражение даже в Библии.
На закате, увидев, что небо красное, вы говорите: «Будет хорошая погода», а на рассвете, если небо заволокло багровыми тучами, вы говорите: «Будет буря».
Нельзя не отказать Иисусу в правоте: действительно, в умеренных широтах Северного полушария преобладают западные ветры, и область высокого давления с хорошей погодой (которую мы видим как красное небо) появившись на закате, с большой вероятностью пройдёт через нас. Если же мы увидим красное небо на востоке, то, похоже, хорошая погода от нас уже уходит. Красный цвет небу придаёт преломление солнечных лучей в частичках пыли, застревающих в атмосфере при антициклоне.
Но не все приметы выдержали испытание временем. Коровы ложатся на землю по разным причинам, и совсем необязательно перед дождём. Натуралисты в Германии подметили в восемнадцатом веке, что древесные лягушки залезают вверх по деревьям в хорошую погоду. Появилась мода заводить у себя дома лягушку и держать её в кувшине, из которого наверх вела вверх маленькая лестница.
На самом деле, эти животные не предсказывали, а следовали хорошей погоде, при которой мошкара поднимается выше от земли. Разумеется, в домашних условиях своим поведением они не сообщали хозяину ничего путного. А синоптиков на телеэкране немцы иронически по сей день называют «погодными лягушками».
Поводов для иронии и издевательств над синоптиками сегодня тоже хватает, хотя стоит заметить, что мы лучше помним их неудачи, нежели их успехи. Ещё одним поводом для насмешек может являться неясность некоторых понятий. Вы знаете, что такое вероятность осадков? Это не просто вероятность дождя в определённом районе. Её нужно ещё умножить на процент площади с дождём в данном регионе. То есть если в Москве завтра точно будет дождь, но лишь на 75% площади, то вероятность дождя и будет 75%. Стоит знать, что некоторые коммерческие бюро погоды сознательно округляют вероятности осадков в большую сторону: лучше перебдеть и не дать клиенту промокнуть. Далее, они неохотно снимают дождевой прогноз в случае изменения обстоятельств в лучшую сторону: частые изменения прогноза подрывают доверие публики. Вообще, синоптикам и прочим прогнозистам имеет смысл представлять грядущее развитие событий в виде диапазона возможных сценариев с соответствующими вероятностями вместо какого-то одного наиболее вероятного сценария. Чем меньше будет недосказанностей – тем лучше.
Существование закона причины и следствия побудила Лапласа предположить создание супер-интеллекта – демона Лапласа – который бы на основе имеющейся в его распоряжении информации о Вселенной смог бы предсказывать будущее. Если это возможно, то свобода воли – всего лишь фикция. На самом деле, мало того, что у нас не хватит вычислительных мощностей, но и присутствуют фундаментальные вещи, ограничивающие наше точное знание координат и импульса частицы в данный момент времени. А именно принцип неопределённости Гейзенберга.
Так что синоптики, несмотря на определённый прогресс, никогда не смогут порадовать нас прогнозом стопроцентной вероятности. Не только по вышеизложенной причине, но и в силу чувствительности их моделей к изменению начальных условий. Погода – это не как у Жванецкого, у которого из консерватории неизбежно попадаешь в Сибирь. Наоборот. Здесь мы имеем дело со сложной системой. Мы можем очень точно рассчитать состояние подобной системы в будущем. Но стоит измениться начальным условиям совсем чуть-чуть – и прогноз окажется совсем другим.
В шестидесятых годах прошлого века американский математик и метеоролог Эдвард Лоренц создал простую модель атмосферы, которую обсчитывал на своём компьютере. Распечатки результатов выдавались с точностью до третьего знака после запятой, в то время, как внутреннее представление чисел в компьютере имело шесть знаков. Однажды Лоренц захотел повторить свои вычисления, но поленился делать всё с самого начала, а использовал распечатки промежуточных результатов. Он с удивлением обнаружил, что конечный прогноз у него получился совсем другим. Это расхождение было вызвано разницей в исходных значениях, не предвышающей одной тысячной! Это был не баг, нет. Это была фича хаотических систем. Он поделился своим открытием в статье с названием «Вызывает ли взмах крыльев бабочки в Бразилии торнадо в Техасе?» Так в науку вошёл эффект бабочки.
Лоренц удачно назвал феномен. Достаточно взглянуть на траектории его упрощённых моделей, которыми он показывал стремление системы прийти к одному из аттракторов в зависимости от начальных условий.
Хаотической системой является движение планет вокруг Солнца. В конце девятнадцатого века Ковалевская вместе с Миттаг-Лефлером поставили гравитационную задачу N тел, за решение которой давалась премия в 2500 шведских крон. Ставился вопрос о стабильности орбит в Солнечной системе. Через три года проблему удалось блестяще решить Анри Пуанкаре на примере трёх тел. Премию он получил, но очень скоро нашёл у себя ошибку и впоследствии доказал, что систему дифференциальных уравнений для движения трёх тел невозможно свести к интегрируемой. Что уж говорить о большем количестве Мы не можем точно рассчитать движение планет Солнечной системы в течение произвольного промежутка времени. Точка.
Итак, даже теоретически мы не можем смотреть достаточно далеко в будущее. Поэтому следует сторониться тех, кто говорят, что совершенно точно знают, что случится. Не знают. Не могут знать.
Кто не верил в дурные пророчества, В снег не лег ни на миг отдохнуть, Тем наградою за одиночество Должен встретиться кто-нибудь.
В эпилоге автор говорит нам, что если есть хоть бы один урок, который можно извлечь для себя из его книги, то это необходимость делать выводы из своих несбывшихся планов и учиться на своих ошибках. Негусто.
Как по мне – получилось эклектично. Какой-то салат из очевидных фактов, вырезок из прессы и пространных поучений. Желание автора в книге на математическую тему обойтись без формул раздуло её аж до четырёх сотен страниц. Хорошо тем, у кого есть время на их усвоение, остальным придётся, чертыхаясь, перепрыгивать абзацы и пролистывать совершенно тривиальные вещи.
Что-то новое можно для себя почерпнуть, но, скорее, фрагментарно. И бессистемно. Но излагает наш автор весьма понятно и увлекательно. Что есть, то есть. Уважаю.